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五条长度相等的线段,首尾相连构成的一个封闭形状且内角相等的平面图形叫正五边形。正五边形每个角均为108°,每条边长度相等。正五边形是旋转对称图形,但不是中心对称图形。

定义

是指五个边等长且五个角等角的五边形,其内角为108度,是一种正多边形,在施莱夫利符号中可以用{5}来表示。

正五边形的中心角为72度,其具有五个对称轴,其旋转对称性有5个阶(72°、144°、216° 和 288°)。

aec379310a55b319d7c503d948a98226cffc1759边长≈1.539边长

18d8bc3eb13533fa728f1282a3d3fd1f41345b65边长≈1.618边长

对角线长50da81cb39dbb6fd4e49648a0224ab18972b370f

其中R为外接圆半径。

边长为t的正凸五边形面积可以将之分割成5个等腰三角形计算:

b219ebc4b74543a9bd557b6015178a82b80114cb

正五边形不能镶嵌平面,因为其内角是108°,不能整除360°。截至2015年,已知有15种凸五边形镶嵌平面,还未知道是否尚有其他的凸五边形。

面积公式推导

正多边形的面积公式为:

f7246b600c33874460a4aed05a0fd9f9d72aa03d

其中,P是周长、r是边心距。正五边形的P和r可由三角函数计算:

5bafa40f4bfbfbed9f44b7d373f0f736afc31f78

其中,t是正五边形的边长。

内切圆半径

正五边形是一个圆外切多边形,因此有内切圆。其内切圆半径与边心距相同,并且可以尤其边长来决定。

4e4a20a4462309f7ed712cbe790e0cf3d7cad604

其中,r为内切圆半径与边心距相同、t为正五边形边长。

构造

里士满提出了一个构造正五边形的方法,并且在克伦威尔的《多面体》中被近一步讨论。。

先利用单位圆决定五边形的半径。C为单位圆圆心,M是圆C半径的中点。D是位于垂直于MC的另外一条半径的圆周上。作角CMD的角平分线,令Q为角CMD的角平分线与CD的交点。作过Q平行于MC的直线,令之与圆C相交的交点为P,则DP为正五边形的边长。

这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形DCM和QCM。利用勾股定理,较大的三角形斜边为  。小三角形其中一股h可由半角公式求得:

5ab5c9ea15ce36d34ff1029c31f33a87e850b1a1

其中,角ϕ可由大三角形求得,其值为:

2e2eb9389b504fc213c231a9eedde71191ef6df9

由此可得到在下图正五边形的边长的一些相关值。右侧三角形的边长a可借由再带一次勾股定理得:

58ee3d6d55fbb2fb347dd9be444a20a44723dccc

欲求出五边形边长s可透过左侧的三角形,由勾股定理得:

d1a20cf431adcbefc2fbffaaa7af2edda2cc9f4b

91529822720e0cf3563ecf570146f21fbf09aa55

使用圆规与直尺建构出正五边形。

五边形边长s为:

1b4c510fd9f9d72af08d91b1df2a2834359bbbb5

得到了正确的结果因此此种构造正五边形的方法是有效的。

约前300年,欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

物理方法

正五边形可以借由尝试在一张长条纸张上打一个反手结,并将多出来的部分向后折来构造。这种折法被用在折纸星星上。

画法

常规画法

(1)已知边长作正五边形的近似画法

①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。

②取AB的2/3长度,沿着中垂线向上取C点,使CK=2/3AB。

③以点C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N。

④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形。 [3] 

(2)民间口诀画正五边形

口诀介绍:“九五顶五九,八五两边分”。

画法:

①画线段AB=20mm。

②作线段AB的垂直平分线l,垂足为G。

③在l上连续截取GH,HD,使 GH=9.5/5*10mm=19mm,HD=5.9/5*10mm=11.8mm。

④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。

⑤连结DE,EA,AB,BC,CD。

五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。

尺规作图画法

理论依据:cos36°=(1+√5)/4

241f95cad1c8a786ca1ec9356609c93d70cf50d0

1. 在平面内作一圆,圆心为O;

2. 在圆O上取一点A,连接AO并延长交圆O于另一点B;【假令|AB|=4】

3. 过点O作CD⊥AB,交圆O于C、D两点;【此时|CD|=4】

4. 作OB垂直平分线MN,交OB于E点,交圆O于M,N【此时|OE|=|BE|=1】

5. 以点E为圆心,EC长为半径作弧,交BO延长线于点F;

【此时|EC|=|EF|=√5】

6. 以点B为圆心,BF长为半径作弧,交圆O分别于G、H两点;

【此时|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】

【此时可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=cos36°】

【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直径所对的圆周角)】

【此时便得到了圆周上的五等分点的其中两个】

7. 以点G为圆心,GA长为半径作弧,交圆O于P点;

8. 以点H为圆心,HA长为半径作弧,交圆O于Q点;

9. 连接AG、GP、PQ、QH、HA,则五边形AGPQH为正五边形。

圆内接五边形

定义与性质

圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等(即圆的每一条弦相等),每个角均为108°,每个角在圆内所对的优弧相等。

内角和求法

因为五边形的内角和可看为3个三角形的内角和,所以,3×180°=540°

内角求法

据上一条“正五边形的内角和求法”可知道,正五边形的内角和为540°。

往下拓展:因为正五边形的五个角均相等,且五边形的内角和为540°;

所以正五边形的每个内角均为540°÷5=108°

发布于 2018-05-16 15:58:38
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5

发布于 2018-05-16 15:59:16
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